Deret Geometri

Deret ukur atau deret geometri dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Deret ukur dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

${\displaystyle ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,}$

di mana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

Jumlah semua suku:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}}$ untuk r > 1, dan

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}$ untuk r < 1.

Pembuktian

Suku ke-n

${\displaystyle a_{1}=a}$

${\displaystyle a_{2}=a\,r^{1}}$

${\displaystyle a_{3}=a\,r^{2}}$

....

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

jadi jumlah suku ke-n adalah ${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

Jumlah suku ke-n

${\displaystyle s_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+....+a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}}$ .... (1)

${\displaystyle s_{n}r=a\,r^{1}+a\,r^{2}+a\,r^{3}+....+a\,r^{n-1}+a\,r^{n}}$ ... (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

${\displaystyle s_{n}-s_{n}r=a-a\,r^{1}+a\,r^{1}-a\,r^{2}+a\,r^{2}-a\,r^{3}+....+a\,r^{n-2}-a\,r^{n-1}+a\,r^{n-1}-a\,r^{n}}$

${\displaystyle s_{n}\,(1-r)=a-a\,r^{n}}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}$

Sumber : https://id.wikipedia.org/wiki/Deret_ukur